Enunciado

13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

14. 1 ,   - 1 3 , 1 9 ,   - 1 27 , 1 81 …

Passo 1

Nosso objetivo aqui também é encontrarmos uma fórmula para o termo geral a n de acordo com o padrão que nos foi dado no enunciado, certo?

Para isso, devemos analisar esses termos para encontrar um padrão quanto: sinais, numeradores e denominadores.

Olhando então para a nossa sequência

1 ,   - 1 3 , 1 9 ,   - 1 27 , 1 81 …

Vamos analisar primeiro os sinais.

Passo 2

Você consegue reparar que o sinal dos termos são intercalados, ou seja, uma hora é positivo e outra hora é negativo?

Quando os sinais dos termos se alternam, como na sequência que estamos analisando, é comum incluirmos um fator multiplicativo na expressão do termo geral para capturar essa alternância. A carinha dele é essa aqui ó

- 1 n - 1

Se você reparar Quando n é par, - 1 n - 1   será positivo, e quando n é ímpar, - 1 n - 1   será negativo. Isso garante que os sinais dos termos se alternem conforme o padrão observado na sequência.

Passo 3

Agora vamos analisar o numerador e o denominador da sequência.

O numerador dos termos não se altera, então sabemos que a expressão de a n terá numerador 1 .

O denominador é composto pelo seguinte fator

3 n - 1

Para observarmos que é verdade, basta substituirmos valores para n e ver se bate, se liga:

3 1 - 1 = 1

3 2 - 1 = 3

3 3 - 1 = 9

3 4 - 1 = 27

Passo 4

Sendo assim, agora que temos todas as informações necessárias para escrever a nossa expressão de acordo com os pontos:

  1. Como os sinais se alternam, então precisamos incluir o fator multiplicativo - 1 n - 1 .
  2. O numerador dos termos não se altera, então sabemos que a expressão de a n terá numerador 1 .
  3. O denominador é composto pelo fator 3 n - 1 .

Assim, temos que a nossa expressão de a n ficará:

a n = - 1 n - 1 . 1 3 n - 1

Ou seja,

a n = - 1 3 n - 1

Resposta

a n = - 1 3 n - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.73. a n = 3 n ⋅ 6 n 2 - n ⋅ n !
Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.93. a 1 = - 4 ,a n + 1 = 8+2 a n
Teoria e exemplos: Prove que underset(n - oo)(l i m) x^(1 // n) = 1 , ( x0 ) .
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.74. a n = ( 10 / 11 ) n ( 9 / 10 ) n+( 11 / 1
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.79. a n = n ⋅ s e n 1 n