Enunciado

No exemplo 4 da seção 1.3 chegamos a um modelo para a duração da luz do dia (em horas) em Ancara, Turquia, no t-ésimo dia dia do ano:

L t = 12 + 2,8   s e n   2 π 365 t - 80

Use esse modelo para comparar como o número de horas de luz do dia aumenta em Ancara em 21 de março e 21 de maio.

Passo 1

Eaeee, belezinha???

O enunciado fornece uma função L ( t ) que fornece a duração em horas da luz do dia em função do dia (representado pela letra t ):

L t = 12 + 2,8   s e n   2 π 365 t - 80

É pedido para compararmos como o aumento do número de horas de luz se comporta em dois dias diferentes.

Para isso, devemos achar a taxa de variação de L ( t ) , isto é, sua derivada com relação ao tempo.

Ah... vamos precisar também da regra da cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando L ( t ) com relação ao tempo aplicando a regra da cadeia, temos:

d L d t = 2,8 ⋅ cos ⁡ 2 π 365 t - 80 ⋅ 2 π 365

d L d t = 5,6 π 365   cos ⁡ 2 π 365 t - 80

Passo 3

Agora devemos substituir na expressão encontrada no passo 2 os dias correspondentes as datas 21 de março e 21 de maio.

Para 21 de março, temos que:

t = 31 + 28 + 21 = 80

Assim, aplicando na derivada, temos:

d L d t = 5,6 π 365 cos ⁡ 2 π 365 80 - 80 ∴

d L d t = 5,6 π 365 cos ⁡ 0 = 0,0482

Passo 4

Já para 21 de maio:

t = 31 + 28 + 31 + 30 + 21 = 141

Assim, aplicando na derivada, temos:

d L d t = 5,6 π 365 cos ⁡ 2 π 365 141 - 80 ∴

d L d t = 0,0240

Comparando as duas taxas vemos que em 21 de março a taxa de crescimento do número de horas do dia é praticamente o dobro em comparação com 21 de maio.

Resposta

Em 21 de março a taxa de crescimento do número de horas do dia é praticamente o dobro em comparação com 21 de maio.

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