Enunciado

Esboce o gráfico.

f (x) = x^4 - 2 x^2

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = (x^4 - 2 x^2)^' = 4 x^(4 - 1) - 2 * 2 x^(2 - 1) = 4 x^3 - 4 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) igualando a zero:

4 x^3 - 4 x = 0 harr 4 x (x^2 - 1) = 0 -> 4 x (x - 1) (x + 1) = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

E para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f^' (x) > 0 em:

[- 1,0] e [0 , + oo[

E f^' (x) < 0 em:

]- oo , - 1] e [0,1]

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em [- 1,0] e [0 , + oo[

f é estritamente decrescente em ]- oo , - 1] e [0,1]

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = (4 x^3 - 4 x)^' = 3 * 4 x^(3 - 1) - 4 x^(1 - 1) = 12 x^2 - 4 x^0 = 12 x^2 - 4 * 1 = 12 x^2 - 4

Igualando a 0 :

12 x^2 - 4 = 0 -> x^2 = (1)/(3) -> x = +- (1)/(sqrt(3))

Vamos analisar agora o sinal de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) > 0 em x > (1)/(sqrt(3)) e x < - (1)/(sqrt(3)) , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em - (1)/(sqrt(3)) < x < (1)/(sqrt(3)) , tendo a concavidade voltada para baixo.

Os pontos de inflexão são em (1)/(sqrt(3)) e - (1)/(sqrt(3)) , pois nesses pontos há uma mudança de concavidade.

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) x^4 - 2 x^2 = + oo

underset(x -> - oo)(lim) x^4 - 2 x^2 = + oo

Passo 6

E por último vamos achar as raízes de f :

x^4 - 2 x^2 = 0 -> x^2 (x^2 - 2) = 0

Temos como raiz real:

x = 0 , x = +- sqrt(2)

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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