Esboce o gráfico.

f(x) = x^4 - 2x^2

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x 4 - 2 x 2 ' = 4 x 4 - 1 - 2 ⋅ 2 x 2 - 1 = 4 x 3 - 4 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

4 x 3 - 4 x = 0 ↔ 4 x x 2 - 1 = 0 → 4 x x - 1 x + 1 = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

E para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- 1,0 e 0 , + ∞

E f ' x < 0 em:

- ∞ , - 1 e 0,1

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - 1,0 e 0 , + ∞

f é estritamente decrescente em - ∞ , - 1 e 0,1

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = 4 x 3 - 4 x ' = 3 ⋅ 4 x 3 - 1 - 4 x 1 - 1 = 12 x 2 - 4 x 0 = 12 x 2 - 4 ⋅ 1 = 12 x 2 - 4

Igualando a 0 :

12 x 2 - 4 = 0 → x 2 = 1 3 → x = ± 1 3

Vamos analisar agora o sinal de f ' ' x :

f ' ' x > 0 em x > 1 3 e x < - 1 3 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em - 1 3 < x < 1 3 , tendo a concavidade voltada para baixo.

Os pontos de inflexão são em 1 3 e - 1 3 , pois nesses pontos há uma mudança de concavidade.

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 4 - 2 x 2 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 4 - 2 x 2 = + ∞

Passo 6

E por último vamos achar as raízes de f :

x 4 - 2 x 2 = 0 → x 2 x 2 - 2 = 0

Temos como raiz real:

x = 0 , x = ± 2

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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