Enunciado

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25. Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial y ' + 2 x y = y 3 x 2 .

Passo 1

Nesse caso temos que n = 3 , então, primeiro, vamos dividir tudo por y 3 :

y ' y 3 + 2 x y y 3   = y 3 x 2 y 3

y - 3 y ' + 2 x - 1 y - 2   = x - 2

E, agora, devemos fazer a substituição u = y 1 - 3 = y - 2 . E então a equação passa a ter a seguinte forma:

u = y - 2 → u ' = - 2 y - 3 y '

- 1 2 u ' + 2 x - 1 u   = x - 2

E, assim, passamos a ter uma EDO linear! Vamos, ainda, multiplicar tudo por - 2 :

u ' - 4 x - 1 u   = - 2 x - 2

Passo 2

Podemos resolver com fator integrante, já que nossa EDO é do tipo:

y ' + P x y = Q ( x )

A EDO modificada é linear com P x = - 4 x - 1 e Q x = - 2 x - 2 .

O fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , assim:

I x = e ∫ - 4 x - 1 d x = e - 4 ln ⁡ x = x - 4

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução u ( x ) é dada por por:

y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C

Já sabemos que I x = x - 4 e Q x = - 2 x - 2 . Então precisamos calcular

∫ x - 4 ⋅ - 2 x - 2 d x = - 2 ∫ x - 6 d x

= - 2 ⋅ x - 6 + 1 - 6 + 1 = 2 x - 5 5

E então temos:

u x = 1 x - 4 2 x - 5 5 + C = x 4 2 x - 5 5 + C x 4

u ( x ) = 2 5 x - 1 + C x 4

Passo 4

Observe que u = y - 2 , isto é, y = 1 u . Então:

y x = 1 2 5 x - 1 + C x 4

Resposta

y x = 1 2 5 x - 1 + C x 4

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