Enunciado

29. A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor com capacitância de C farads ( F ) e um resistor com Resistência R ohms ( Ω ) . A queda de voltagem no capacitor é Q / C , onde Q é a carga (em coulombs); nesse caso, a lei de Kirchooff fornece:

R I + Q C = E ( t )

Mas I = d Q / d t (Veja o exemplo 3, na Seção 3.7, no volume I), assim, temos

R d Q d t + Q C = E ( t )

Suponha que a resistência seja 5 Ω e a capacitância 0,05   F ; que a pilha forneça uma voltagem constante de 60   V e que a carga inicial seja Q 0 = 0 C . Encontre a carga e a corrente no instante t .

Passo 1

Temos que R = 5 , C = 0,05 e E t = 60 . Substituindo em R d Q d t + Q C = E ( t ) e chamando Q ' = d Q d t temos 5 Q ' + 1 0,05 Q = 60 , isto é, 5 Q ' + 20 Q = 60 .

Dividindo tudo por 5 , temos Q ' + 4 Q = 12 Então a EDO é linear com P t = 4 e Q t = 12 .

O fator integrante é dado por i x = e ∫ P t d t , ou seja, i t = e ∫ 4 d t = e 4 t .

Passo 2

Sabendo que dado o fator integrante i ( t ) , a solução Q ( t ) é dada por Q t = 1 i ( t ) ∫ i t Q t d t + C . Já sabemos que i t = e 4 t e Q t = 60 .

Então precisamos calcular ∫ e 4 t ⋅ 60 d t = 60 ∫ e 4 t d t . Fazendo u = 4 t , temos que d u = 4 d t isto é, d t = d u 4 . E então temos, 60 ∫ e 4 t d t = 60 ∫ e u d u 2 = 15 e u = 15 e 4 t .

Então a solução é dada por Q t = 1 e 4 t 15 e 4 t + C = 15 + C e - 4 t

Como Q 0 = 0 , temos 15 + C e - 4 ⋅ 0 = 0 , então C = - 15 .

Agora vamos encontrar a corrente I ( t ) . Sabemos que I = d Q / d t , então I t = - 4 ⋅ - 15 e - 4 t = 60 e - 4 t

Resposta

Q t = 15 ( 1 - e - 4 t )

I t = 60 e - 4 t

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