Enunciado

27. Uma barra tem 6 m de comprimento e sua massa é de 24 kg. Se a medida da densidade linear em qualquer ponto da barra varia diretamente com o quadrado da distância do ponto a um extrmo, ache o maior valor da densidade linear.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade varia diretamente com o quadrado da distância portanto podemos escrever a densidade da seguinte forma:

ρ x = k x 2

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

Outra informação que o enunciado nos da é a massa total da barra que é de 24kg, mas sabemos que a massa total pode ser obtida a partir da integral da densidade. Usaremos essas informações para achar o valor da constante k.

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

M t = ∫ 0 6 k x 2 d x  

M t = k x 3 3 | 6 0

M t = 72 k

O exercício nos deu o valor de M t = 24   k g . Podemos então fazer a seguinte igualdade:

72 k = 24

k = 24 72

k = 1 3

Agora que temos o valor da constante basta aplica-la a função da densidade.

ρ x = 1 3 x 2

Passo 3

A função densidade da barra só pode ser aplicada ao intervalo de 0 a 6 que são as posições que um ponto pode assumir dentro dessa barra. Com isso temos que o máximo valor que a densidade pode assumir é quando a posição x é o próprio tamanho da barra. Com isso temos:

ρ 6 = 1 3 6 2

ρ 6 = 12 k g / m

Resposta

Densidade máxima: 12 k g / m

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