Enunciado

O custo da produção de x onças ( 1 l i b r a = 12 o n ç a s ) de ouro provenientes de uma nova mina é C = f ( x ) dólares.

( a ) Qual o significado da derivada de f ´ ( x ) ? Quais são suas unidades?

( b )   O que significa f ' ( 800 ) = 17 ?

( c ) Você acha que os valores de   f ´ ( x ) vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo? Explique.

Passo 1

Essa questão é puramente teórica, então vamos pensar juntos e tentar formular uma boa e coerente resposta.

Essa questão é mais teórica e nos faz 3 perguntas envolvendo derivadas. Então vamos começar relembrando que derivada é uma taxa de variação instantânea de uma medida. Ou seja, é como uma grandeza varia, a cada ponto.

No item a, precisamos dizer o que significa especificamente a derivada da função custo e sua unidade. Então vamos avaliar o que é a derivada, como já começamos a recapitular.

Nos itens b e c, precisamos dizer o que significa a derivada num ponto específico e se ela é crescente ou decrescente.

Passo 2

Bom, o que significa a derivada de f x ?

Como a derivada é a taxa de variação instantânea de f ( x ) em relação a x , então f ' ( x ) seria a taxa de variação instantânea do custo por x , que é a quantidade de onças produzidas de ouro.

Em outras palavras, ela é o tanto que o custo aumenta pra produzir uma unidade a mais.

Isso é exatamente o que os economistas chamam de custo marginal!

Custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida.

A sua unidade vai ser a razão da unidade de f ( x ) pela unidade de x :

d ó l a r e s / o n ç a   d e   o u r o

Passo 3

No item b, queremos saber o que significa f ' ( 800 ) = 17 .

Bom, lembra que a derivada é uma taxa de variação INSTANTÂNEA?? Significa que é a taxa de variação em um ponto.

No caso aqui, f ' ( 800 ) é a taxa de variação do custo após serem produzidas 800 onças de ouro. Então, 17 reais seria o custo para produzir mais uma onça de ouro ( 801   onças).

Passo 4

Bom, no item c, queremos saber se f ´ ( x ) cresce ou decresce a curto e longo prazo.

A verdade é que não temos como calcular, porque não temos a função f x .

Mas vamos pensar juntos nessa situação.

Pra produzir mais, gastamos mais, então o custo tende a crescer. Mas a derivada do custo é diferente. A derivada é a taxa de variação do custo. Em outras palavras, ela é o tanto que o custo aumenta pra produzir mais uma unidade.

E se a gente pensar, quando mais produzimos, melhor podemos alocar os recursos, produzir em lotes, e outras formas de produzir que tornem a produção de uma unidade mais barata. E isso faz sentido tanto a curto quanto longo prazo.

Então vamos assumir que ambas decrescem!

Resposta

( a ) f ' ( x ) é a taxa de variação instantânea do custo por x . A unidade é dólares/onça de ouro.

( b ) f ' ( 800 ) é a taxa de variação do custo após produzidas 800 onças de ouro e 17 dólares é o custo para produzir a unidade de número 801.

( c ) Ambas decrescem.

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Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 2 ; a = 1
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = x 3 ; a = 0
Dado que f 3 = - 1 e f ' 3 = 5 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = 3 .
Se for dada uma equação da reta tangente no ponto a , f a de uma curva y = f x , como poderíamos calcular f ' a ?Dado que a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto 2,5 é y = 3 x - 1 ,
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 3 + 1 ; a = - 1