Enunciado

12. Seja g ( x ) = tan ⁡ x . Estime o valor de g ´ π 4 de duas maneiras:

(a) Use a Definição 2 e tome os valores sucessivamente menores de h .

(b) Dê um zoom sobre o gráfico de y = tan ⁡ x e estime a sua inclinação

Passo 1

Opa, e aí, tudo bem? Aqui temos:

g ( x ) = tan ⁡ x

E precisamos estimar:

g ´ π 4

Só que o enunciado pede pra a gente fazer de duas maneiras! Na primeira a gente vai usar a definição 2 :

g ' ( a ) = lim h → 0 ⁡ g ( a + h ) - g ( a ) h

E pra segunda a gente vai plotar o gráfico de tan ⁡ x , dar um zoom bem perto de x = π / 4 e vamos traçar uma reta tangente e calcular a sua inclinação fazendo:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 2

Um desses pontos pode ser π 4 , tan ⁡ π 4 e o outro a gente vai estimar no olhometro! Bora lá?!

Passo 2

Vamos começar com a letra (a), temos:

g ' ( a ) = lim h → 0 ⁡ g ( a + h ) - g ( a ) h

Onde:

g ( a ) = g π 4 = tan ⁡ π 4

g ( a + h ) = g π 4 + h = tan ⁡ π 4 + h

Agora a gente substitui na fórmula:

g ' π 4 = lim h → 0 ⁡ tan ⁡ π 4 + h - tan ⁡ π 4 h  

g ' π 4 = lim h → 0 ⁡ tan ⁡ π 4 + h - 1 h  

Agora a gente vai substituir pequenos valores de h cada vez menores:

tan ⁡ π 4 + h - 1 h = tan ⁡ π 4 + 0,01 - 1 0,01 = 2,020

A ideia aqui é ir diminuindo os valores de h :

A medida que aproximamos h de zero nos aproximamos de 2 , então:

g ' π 4 = lim h → 0 ⁡ tan ⁡ π 4 + h - 1 h = 2,000

Passo 3

Agora, faremos a estimativa por meio do gráfico! Vamos plotar o gráfico:

y = tan ⁡ x

E desenhar a reta tangente no ponto π 4 , 1 :

Aproximamos uma reta tangente, pegamos o ponto dado no enunciado e esse segundo ponto é um ponto qualquer pertencente a reta que a gente desenhou. Aqui foi no olhometro, beleza?!

Temos então a inclinação da reta:

m = 1 - 0 π 4 - 0,3 = 2,061

Então por essa estimativa temos:

g ' π 4 = 2,061

Bem próximo do que a gente encontrou lá em cima!

Resposta

(a)

g ' π 4 = 2,000

(b)

g ' π 4 = 2,061

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