Enunciado

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

27. 1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …

Passo 1

Então galera, para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência. Nesse teste descobriremos se a série em questão é divergente ou não. Se ela for divergente, tudo bem, então é! No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza? O teste supracitado nos diz:

“Se lim n → ∞ ⁡ a n = ∄ ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série é divergente.”

Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede. As séries podem ter algumas caras, dentre elas existem dois tipos que mais aparecem, a primeira é a série convencional mesmo e a segunda é a série geométrica. Para a convencional a soma é calculada da seguinte forma:

∑ i = 1 n a i = s n

∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ ⁡ s n

Em outras palavras, basta descobrirmos a expressão que define a sequência de somas parciais ( s n ) e calcular seu limite com n → ∞ . Para a série geométrica, temos que:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!

Passo 2

Antes de vermos se a série é convergente ou divergente, vamos descobrir uma expressão para s n , ok? A soma que nos foi dada é:

1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …

Disso podemos tirar que: o numerador não se altera, ou seja, é 1 o tempo inteiro, e o denominador é composto por valores múltiplos de 3 , não é mesmo? Sendo assim, nossa expressão será:

s n = 1 3 n ⇒ ∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa série é chamada de série harmônica, galera! Se trata de uma série bem conhecida, assim como seu resultado. Essa é uma série divergente.

Resposta

1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + … é   d i v e r g e n t e

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Nos exercícios 27-34, use o teste n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. ∑ n = 1 ∞ c o s 1 n
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Nos exercícios 27-34, use o teste n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. ∑ n = 0 ∞ cos ⁡ n π
Nos exercícios 27-34, use o teste n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 4 )