Enunciado

Calcule a integral.

int_1^2 (t^2 i + t sqrt(t - 1) j + t sen pi t k) d t

Passo 1

A integral de uma função vetorial é obtida integrando-se seus componentes.Temos

int_1^2 (t^2 i + t sqrt(t - 1) j + t sen pi t k) d t

= (int_1^2 t^2 d t) i + (int_1^2 t sqrt(t - 1) d t) j + (int_1^2 t s e n pi t d t) k

OBS: a segunda integral pode ser resolvida por substituição tomando-se u = t - 1 e realizando manipulações no integrando. A terceira integral pode ser resolvida por partes tomando-se u = t e d v = s e n pi t d t .

Continuando a resolução temos

= [(t^3)/(3)]_1^2 i + [(2)/(5) (t - 1)^((5)/(2)) + (2)/(3) (t - 1)^((3)/(2))]_1^2 j + [(- (1)/(pi) t cos pi t)_1^2 + int_1^2 (1)/(pi) cos pi t d t] k

= ((8)/(3) - (1)/(3)) i + ((2)/(5) + (2)/(3)) j + [(- (2)/(pi) - (1)/(pi)) + ((1)/(pi^2) s e n pi t)_1^2] k

= (7)/(3) i + (16)/(15) j + [- (3)/(pi) + 0] k

= (7)/(3) i + (16)/(15) j - (3)/(pi) k

Resposta

(7)/(3) i + (16)/(15) j - (3)/(pi) k

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