Enunciado

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada. Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

4. OAC em torno do eixo y.

Passo 1

Como essa figura está girando em torno do eixo y, nossa casca cilíndrica imaginária estaria na vertical e a espessura da casca cilíndrica é dx, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar r e h em termos de x.

Assim:

r = x           h = x 3

Logo:

V = 2 π ∫ 0 4 x ⋅ ( x 3 ) d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 4 na região limitada.

Passo 2

Agora basta resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 4 x ⋅ ( x 3 ) d x

= 2 π ∫ 0 4 x 5 2 d x

= 2 π 2 7 x 7 2 0 4

= 2 π 2 7 4 7 2 - 0

= 2 π 2 7 128

= 2 π 36,6 = 73,2 π

Resposta

V = 73,2 π

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Se a região mostrada na figura a seguir é girada em torno do eixo y formando um sólido, use a Regra de Simpson, com n = 8 , para estimar o volume do sólido.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. y = e x , y = e - x , x = 1 ; e mt o r n od oe i
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. x = ln ⁡ y ,y = 1 ,y = π ; e mt o r n od oe i
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = e - x ,x = 0 ,y = π ; e mt o r n od oe i x
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. y = cos ⁡ π x 2 ,y = 0 ,0 ≤ x ≤ 1 ; e mt o r n