Enunciado

1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela x = 4 .

9. a reta x = 4 .

Passo 1

Primeiro vamos ver como fica a região.

Como essa figura está girando em torno do eixo vertical x = 4 , nossa casca cilíndrica imaginária estaria na vertical e a espessura da casca cilíndrica é dx, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar r e h em termos de x.

Assim:

r = 4 - x           h = x

Logo:

V = 2 π ∫ 0 4 ( 4 - x ) ⋅ ( x ) d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 4 na região limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 4 ( 4 - x ) ⋅ ( x ) d x

= 2 π ∫ 0 4 4 x - x 3 2 d x

= 2 π 4 ∫ 0 4 x   d x - ∫ 0 4 x 3 2   d x

= 2 π 4 2 3 x 3 2 0 4 - 2 5 x 5 2 0 4

= 2 π 4 2 3 4 3 2 - 0 - 2 5 4 5 2 - 0

= 2 π 4 2 3 8 - 2 5 32

= 2 π ( 21,3 - 12,8 )

= 2 π 8,5 = 17 π

Resposta

V = 17 π

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