Enunciado

2.Calcule:

int_0^1 x e^(- x^2) d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!

Questão de substituição simples e substituiremos u por - x^2 , mudaremos tudo que tem x para u , olho no lance!

u = - x^2

Então derivando em ambos os lados, teremos:

(u)^' = (- x^2) '

d u = - 2 x d x

Isolando x d x , temos:

x d x = - (d u)/(2)

Passo 2

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

int x e^(- x^2) d x = int (- 1)/(2) e^u d u

Sendo (- 1)/(2) constante, o colocaremos para fora vamos calcular a primitiva:

int x e^(- x^2) d x = - (1)/(2) int e^u d u

int x e^(- x^2) d x = - (1)/(2) e^u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!!

int x e^(- x^2) d x = - (1)/(2) e^(- x^2) + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função, e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^1 x e^(- x^2) d x = (- 1)/(2) ( e^(- 1^2) - e^(0^2) )

int_0^1 x e^(- x^2) d x = - (1)/(2) ( (1)/(e) - 1 ) = (( e - 1 ))/(2 e)

Resposta

int_0^1 x e^(- x^2) d x = (( e - 1 ))/(2 e)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

25. int (3 d x)/(x^2 - 4 x + 1)
27. int (sqrt(x + 3))/(x - 1) d x
10. ∫ sen 4 ⁡ x cos ⁡ xd x
18. ∫ d x 16 + x 2
8. ∫ e 1 x + 2 x 2 d x