2.Calcule:

∫ 0 1 x e - x 2 d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!

Questão de substituição simples e substituiremos u   por - x 2 , mudaremos tudo que tem x para u , olho no lance!

u = - x 2

Então derivando em ambos os lados, teremos:

u ' = - x 2 '

d u = - 2 x d x

Isolando x d x , temos:

x d x = - d u 2

Passo 2

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

∫ x e - x 2 d x =   ∫ - 1 2 e u d u

Sendo - 1 2 constante, o colocaremos para fora vamos calcular a primitiva:

∫ x e - x 2 d x = - 1 2 ∫ e u d u

∫ x e - x 2 d x = - 1 2 e u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!!

∫ x e - x 2 d x = - 1 2 e - x 2 + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função, e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 1 x e - x 2 d x = - 1 2 ( e - 1 2 - e 0 2 )

∫ 0 1 x e - x 2 d x =   -   1 2 ( 1 e - 1 ) = ( e - 1 ) 2 e

Resposta

∫ 0 1 x e - x 2 d x =   ( e - 1 ) 2 e

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