7. Calcule

d ) ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro vamos utilizar a propriedade de exponencial a m n = a m * n . Temos então,

∫ cos 4 ⁡ x   d x =   ∫ ( cos 2 ⁡ x ) 2 d x  

Agora, usaremos a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ α = 1 2 + cos ⁡ 2 a 2 . No nosso caso, é necessário substituir a = x .

∫ ( cos 2 ⁡ x ) 2 d x =   ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 2 d x    

Precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

∫ 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 2 d x     = ∫ 1 2 2 + 2 * 1 2 * cos ⁡ 2 x 2 +   cos ⁡ 2 x 2 2 d x

Usando novamente a identidade cos 2 ⁡ α = 1 2 + cos ⁡ 2 a 2 , sendo a = 2 x

∫ 1 4 + cos ⁡ 2 x 2 + cos 2 ⁡ 2 x 4 d x =   ∫ 1 4 + cos ⁡ 2 x 2 + 1 4 * 1 2 + cos ⁡ ( 2 * 2 x ) 2 d x =

∫ 1 4 + cos ⁡ 2 x 2 + 1 8 + cos ⁡ 4 x 8 d x =   ∫ 3 8 + cos ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ 4 x 8 d x    

Passo 2

Precisamos lembrar que,   ∫ c   d x = c x + k   e ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Sendo c ,   a e k constantes. Logo,

∫ 3 8 + cos ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ 4 x 8 d x = 3 8 x + 1 2 * sin ⁡ 2 x 2 + 1 4 * sin ⁡ 4 x 8 + k = 3 8 x + sin ⁡ 2 x 4 + sin ⁡ 4 x 32 + k

Passo 3

Substituindo o intervalo da integral

∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ x   d x = 3 8 π 2 + sin ⁡ 2 π 2 4 + sin ⁡   4 π 2 32 - 0 + sin ⁡ 0 4 + sin ⁡ 0 32

3 π 16 + sin ⁡ π 4 + sin ⁡   2 π 32 - 0 = 3 π 16 + 0 + 0 = 3 π 16  

Resposta

Portanto, temos que

∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ x   d x = 3 π 16

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