Enunciado

2.Calcule:

int_0^(sqrt(pi)) x sin 3 x^2 d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

Questão de substituição simples e substituiremos u por 3 x^2 , mudaremos tudo que tem x para u , olho no lance!

u = 3 x^2

Então derivando em ambos os lados, teremos :

(u)^' = (3 x^2) '

d u = 6 x d x

Isolando x d x , temos :

x d x = (d u)/(6)

Passo 2

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

int x sin 3 x^2 d x = int (1)/(6) sin u d u

Sendo (1)/(6) constante, o colocaremos para fora vamos calcular a primitiva:

int x sin 3 x^2 d x = = (1)/(6) int sin u d u

int x sin 3 x^2 d x = - (1)/(6) cos u + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!!

int x sin 3 x^2 d x = - (1)/(6) cos 3 x^2 + C

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função, e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^(sqrt(pi)) x sin 3 x^2 d x = - (1)/(6) cos 3 (sqrt(pi))^2 - (- (1)/(6) cos 3 (0)^2)

int_0^(sqrt(pi)) x sin 3 x^2 d x = - (1)/(6) (- 1) + (1)/(6) (1) = (1)/(3)

Resposta

int_0^(sqrt(pi)) x sin 3 x^2 d x = (1)/(3)

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