2.Calcule:

∫ 0 π x sin ⁡ 3 x 2 d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

Questão de substituição simples e substituiremos u   por 3 x 2 , mudaremos tudo que tem x para u , olho no lance!

u = 3 x 2

Então derivando em ambos os lados, teremos :

u ' = 3 x 2 '

d u = 6 x d x

Isolando x d x , temos :

x d x = d u 6

Passo 2

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

∫ x sin ⁡ 3 x 2 d x = ∫ 1 6 sin ⁡ u d u

Sendo 1 6     constante, o colocaremos para fora vamos calcular a primitiva:

∫ x sin ⁡ 3 x 2 d x = = 1 6 ∫ sin ⁡ u d u

∫ x sin ⁡ 3 x 2 d x = - 1 6 cos ⁡ u + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!!

∫ x sin ⁡ 3 x 2 d x = - 1 6 cos ⁡ 3 x 2 + C

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função, e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 π x sin ⁡ 3 x 2 d x =   - 1 6 cos ⁡ 3 π 2 - - 1 6 cos ⁡ 3 0 2

∫ 0 π x sin ⁡ 3 x 2 d x = - 1 6 - 1 + 1 6 1 = 1 3

Resposta

∫ 0 π x sin ⁡ 3 x 2 d x = 1 3

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