Enunciado

2.

Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo 4 x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos:

Passo 1

Em questão como essas devemos colocar a área do semicírculo em função de 𝑥, já que esse semicírculo é a seção perpendicular ao eixo 𝑥.

Lembrando da área de um semicírculo de raio r :

A = π r 2 2

Passo 2

O raio da circunferência perpendicular ao eixo x é igual ordenada de um ponto qualquer da elipse!

Lembrando que uma ordenada qualquer da elipse é dada pelo “isolamento”, deixar y sozinho na equação da elipse!

4 x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1 - 4 x 2

Como dissemos a ordenada é igual ao raio. Isso quer dizer que y = r . Substituindo na equação que está aqui em cima do que você está lendo. Vamos ter essa parada aqui!

r 2 = 1 - 4 x 2

Conseguimos colocar o r em função de x !! Vamos lá, hidrata-se antes!

Colocando as informações na expressão da área!! Lembrando que aqui tem informação!!

A ( x ) = π 1 - 4 x 2 2

Passo 3

Você pode estar se perguntando qual o intervalo de integração?

Eu te respondo! Ora, será de -   1 2 a até 1 2 , pois devemos integrar sempre nos limites de x e os vértices da elipse são (-   1 2 , 0 ) e ( 1 2 , 0 ) . Calculando o Volume agora!

V   = ∫ - 1 2 1 2 π 1 - 4 x 2 2 d x = π 2 ∫ - 1 2 1 2 d x - ∫ - 1 2 1 2 4 x 2 d x = π 2 x 1 2 - 1 2 - 4 x 3 3 1 2 - 1 2

= π 2 1 - 8 24 = π 2 2 3 = π 3

Resposta

V = π 3

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