Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 3 em torno de O C .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( y ) d y

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 3 , que é delimitada pela função x = y 4   e x = y . Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta x = 0 . Assim, a área do disco é igual a:

A y = π R 2 - π r 2 = π y 2 - y 4 2 = π y 2 - y 8

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π y 2 - y 8 d y = π ∫ y 2 - y 8 d y = π y 3 3 - y 9 9 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 y 2 - y 8 d y = π y 3 3 - y 9 9 0 1

V = π 1 3 - 1 9 = 2 π 9

Resposta

O resultado final é:

V = 2 π 9

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = e x - 1 y = 0 x = 1 x = 3
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = 1 2 x y = 0 x = 1 4 x = 4
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y x = 5 y 2 x = 0 y = - 1 y = 1
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = cos ⁡ x y = 0 x = 0 0 ≤ x ≤ π 2
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = x - x 2 y = 0