Enunciado

30. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x , da região limitada pela parábola y 2 = 4 x e pela reta y = x .

Passo 1

Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.

Passo 2

A região é limitada por y = 2 x e pela reta y = x , o intervalo de x   é [ 0,4 ] , onde as retas se encontram.

Um elemento de volume será uma anilha, centrada no eixo x , como a questão pede.

O raio (a distância até o eixo y )   dessa anilha será o valor de 2 w i   e   w i , onde w i é uma porção infinitesimal no eixo x . Show? =]

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( f w i ) 2   ∆ i x = π ∫ a b ( f x ) 2 d x

(a área da anilha é π ( r 1 2 - r 2 2 ) )

No nosso caso,

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( 2 w i ) 2 - ( w i ) 2 ∆ i x = π ∫ 0 4 ( 2 x ) 2 - ( x ) 2 d x

V = π ∫ 0 4 ( 4 x - x 2 ) d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π ∫ 0 4 ( 4 x - x 2 ) d x = π 2 x 2 - x 3 3   0 4

= π 32 - 64 3

= 32 3 π

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = 32 3 π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

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