Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = ln ⁡ x ,   x = 0 ,   y = 1 , y = 2 ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Fala aee, tranquilo??

Bom, galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado. Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

A região que queremos esboçar é:

Tudo que está entre essas três retas e o gráfico, ok? Em torno de y .

Como queremos em torno de y e temos a função em x , vamos inverter essa função:

y = ln ⁡ x

Pela definição do logaritmo:

x = e y

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral

V = ∫ 1 2 π e y 2 d y

Resolvendo a integral, temos

V = π ∫ 1 2 e 2 y d y

Vamos fazer a substituição u = 2 y → d u = 2 d y e, agora, variando de y = 1 → u = 2 a y = 2 → u = 4 :

V = π 2 ∫ 2 4 e u d u

V = π 2 e u 2 4

V = π 2 e 4 - e 2

Passo 3

Podemos esboçar graficamente o sólido da seguinte maneira:

Prontinho. Só isso :)

Resposta

V = π 2 e 4 - e 2

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