Enunciado

29. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = - 4 , da região limitada por aquela reta e pela parábola x = 4 + 6 y - 2 y 2 .

Passo 1

Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.

Passo 2

A região é limitada por x = 4 + 6 y + 2 y 2 , pela reta x = - 4 . Subtraindo as retas 4 + 6 y - 2 y 2 - - 4 = - 2 y 2 - 3 y - 4 = - 2 ( y + 1 ) ( y - 4 ) , o intervalo de y   é [ - 1,4 ] .

Um elemento de volume será um disco, centrado em x = - 4 , como a questão pede.

O raio (a distância até o eixo y )   desse disco será a subtração das retas 4 + 6 w i - 2 w i 2 + 4 , onde w i é uma porção infinitesimal no eixo y . Show? =]

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( f w i ) 2   ∆ i y = π ∫ a b ( f y ) 2 d y

(essa função f é o raio, a área é π ( f y ) 2 )

No nosso caso,

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( 8 + 6 w i - 2 w i 2 ) 2 ∆ i x = π ∫ - 1 4 ( 8 + 6 y - 2 y 2 ) 2 d y

V = π ∫ - 1 4 ( 64 + 96 y + 4 y 2 - 24 y 3 + 4 y 4 ) d y

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π ∫ - 1 4 ( 64 + 96 y + 4 y 2 - 24 y 3 + 4 y 4 ) d y = π 64 y + 48 y 2 + 4 3 y 3 - 6 y 4 + 4 5 y 5   - 1 4

= π 64 ( 4 ) + 48 ( 4 ) 2 + 4 3 ( 4 ) 3 - 6 y ( 4 ) 4 + 4 5 ( 4 ) 5 - 64 ( - 1 ) + 48 ( - 1 ) 2 + 4 3 ( - 1 ) 3 - 6 ( - 1 ) 4 + 4 5 ( - 1 ) 5

= 1250 3 π

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = 1250 3 π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. x = y 2 ,x = 1 ; em tor
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos y = 1 + sec ⁡ x ,y = 3 ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos x = 2 y ,x = 0 ,y = 9 ;e
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos y = ln ⁡ x ,x = 0 ,y = 1
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos y = x 2 ,x = y 2 ;e mt o