Enunciado

30-47 Encontre a derivada.

45. y = x sen h^(- 1) (x // 3) - sqrt(9 + x^2)

Passo 1

Aplicando a derivada a esse equação:

y^' = (d)/(d x) (x senh^(- 1) (x // 3) - sqrt(9 + x^2))

A derivada da soma é a soma das derivadas:

y^' = (d)/(d x) (x senh^(- 1) (x // 3)) - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

Para resolver a primeira derivada devemos usar a regra do produto:

y^' = [(d)/(d x) (x) * senh^(- 1) (x // 3) + (d)/(d x) (senh^(- 1) (x // 3)) * x] - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

y^' = [(1) * senh^(- 1) (x // 3) + (d)/(d x) (senh^(- 1) (x // 3)) * x] - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

Perceba que a derivada daquele seno hiperbólico é uma função composta, então precisamos da regra da cadeia para resolver essa derivada, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Usando os termos da nossa função, podemos escrever:

y^' = [senh^(- 1) (x // 3) + (senh^(- 1)^' (x // 3) * (d)/(d x) ((x)/(3))) * x] - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

A derivada da função inversa do seno hiperbólico é 1 // sqrt(1 + x^2) , então:

y^' = [senh^(- 1) (x // 3) + ((1)/(sqrt(1 + ( x // 3 )^2)) * ((1)/(3))) * x] - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

Elevando ao quadrado e somando o termo de dentro da raiz:

y^' = [senh^(- 1) (x // 3) + ((1)/(sqrt((x^2 + 9)/(9))) * ((1)/(3))) * x] - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

y^' = [senh^(- 1) (x // 3) + ((3)/(sqrt(x^2 + 9)) * ((1)/(3))) * x] - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

Simplificando o 3 de cima com o 3 de baixo:

y^' = senh^(- 1) (x // 3) + (x)/(sqrt(x^2 + 9)) - (d)/(d x) (sqrt(9 + x^2))

E para fazer aquela derivada que faltou vamos precisar novamente da regra da cadeia:

y^' = senh^(- 1) (x // 3) + (x)/(sqrt(x^2 + 9)) - ((1)/(2 sqrt(x^2 + 9)) * (d)/(d x) (x^2 + 9))

y^' = senh^(- 1) (x // 3) + (x)/(sqrt(x^2 + 9)) - ((1)/(2 sqrt(x^2 + 9)) * (2 x))

y^' = senh^(- 1) (x // 3) + (x)/(sqrt(x^2 + 9)) - (x)/(sqrt(x^2 + 9))

Então, só sobra:

y^' = senh^(- 1) (x // 3)

Resposta

y^' = senh^(- 1) (x // 3)

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