Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = c o t g h - 1 ( sec ⁡ x )

Passo 1

Faala, faaala

Nessa questão queremos encontrar a derivada de:

y = c o t g h - 1 ( sec ⁡ x )

Para isso, vamos precisar saber a derivada da inversa da secante hiperbólica:

d d x cotgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

E como temos uma função dentro dela, precisamos saber a derivada dessa função também.

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x t g   x

Por fim, vamos usar a regra da cadeia para calcular a derivada da nossa função.

d d x f g x = d d g x f g x × d d x g x

Ou seja, derivamos de fora para dentro.

Passo 2

Nossa função é:

y = c o t g h - 1 ( sec ⁡ x )

Usando a regra da cadeia temos:

f ' x = d d s e c x c o t g h - 1 ( sec ⁡ x ) × d d x s e c x

Vimos no Passo 1 que:

d d x cotgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Portanto,

d d s e c x c o t g h - 1 ( sec ⁡ x ) = 1 1 - sec 2 ⁡ x

Pela identidade trigonométrica: 1 - sec 2 ⁡ x =   - t g 2 x

Logo,

d d s e c x c o t g h - 1 ( sec ⁡ x ) = 1 1 - sec 2 ⁡ x

d d s e c x c o t g h - 1 ( sec ⁡ x ) = - 1 t g 2 x

E também temos a derivada de:

d d x s e c x = s e c x   t g x

Passo 3

Substituindo tudo na nossa regra da cadeia, temos:

f ' x = d d s e c x c o t g h - 1 ( sec ⁡ x ) × d d x s e c x

f ' x = - 1 t g 2 x   ( sec ⁡ x   t g   x )

f ' x =   - sec ⁡ x t g   x

Abrindo a tangente, temos:

f ' x =   - 1 cos ⁡ x cos ⁡ x s e n x

f ' x =   - 1 s e n   x

E 1 s e n x é a mesma coisa que cossecante, logo:

f ' x =   - csc ⁡ x

Prontinho😉

Resposta

f ' x =   - csc ⁡ x

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