Enunciado

30-47 Encontre a derivada.

44. y = x tgh^(- 1) x + ln sqrt(1 - x^2)

Passo 1

Aplicando a derivada a esse equação:

y^' = (d)/(d x) (x tgh^(- 1) x + ln sqrt(1 - x^2))

A derivada da soma é a soma das derivadas:

y^' = (d)/(d x) (x tgh^(- 1) x) + (d)/(d x) (ln sqrt(1 - x^2))

Para resolver a primeira derivada devemos usar a regra do produto:

y^' = [(d)/(d x) (x) * tgh^(- 1) x + (d)/(d x) (tgh^(- 1) x) * x] + (d)/(d x) (ln sqrt(1 - x^2))

A derivada da função inversa da tangente hiperbólica é 1 // ( 1 - x^2 ) , então:

y^' = [(1) * tgh^(- 1) x + ((1)/(1 - x^2)) * x] + (d)/(d x) (ln sqrt(1 - x^2))

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) + (d)/(d x) (ln sqrt(1 - x^2))

Já para derivar esse outro termo que sobrou devemos aplicar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Usando os termos da nossa função, podemos escrever:

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) + (1)/(sqrt(1 - x^2)) * (d)/(d x) (sqrt(1 - x^2))

E mais uma vez precisamos da regra da cadeia para derivar:

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) + (1)/(sqrt(1 - x^2)) * ((1)/(2 sqrt(1 - x^2)) * (d)/(d x) (1 - x^2))

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) + (1)/(sqrt(1 - x^2)) * ((1)/(2 sqrt(1 - x^2)) * (- 2 x))

Pronto, acabou as derivadas, agora é só deixar um pouco melhor essa expressão:

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) + ((- 2 x))/(2 (sqrt(1 - x^2))^2)

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) + ((- 2 x))/(2 (1 - x^2))

y^' = tgh^(- 1) x + (x)/(1 - x^2) - (x)/(1 - x^2)

y^' = tgh^(- 1) x

Resposta

y^' = tgh^(- 1) x

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