Enunciado

31. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = 4 , da região do Exercício 30.

Passo 1

Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.

Passo 2

A região é limitada por y 2 = 4 x e pela reta y = x , o intervalo de x   é [ 0,4 ] , onde as retas se encontram. Subtraindo as retas, temos y - y 2 4 = 1 4 y ( 4 - y ) .

Um elemento de volume será um anel circular, centrado em x = 4 , como a questão pede.

Os raios do anel serão 4 - w i 2 4 e 4 - w i onde w i é uma porção infinitesimal no eixo y . Show? =]

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( f w i ) 2   ∆ i y = π ∫ a b ( f x ) 2 d y

(a área do anel é π ( r 1 2 - r 2 2 ) )

No nosso caso,

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( 4 - w i 2 4 ) 2 - ( 4 - w i ) 2   ∆ i y = π ∫ 0 4 ( 4 - y 2 4 ) 2 - ( 4 - y ) 2 d y

V = π ∫ 0 4 ( 16 - 2 y 2 + y 4 16 - 16 + 8 y - y 2 ) d y

V = π ∫ 0 4 ( 8 y - 3 y 2 + y 4 16 ) d y

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π ∫ 0 4 ( 8 y - 3 y 2 + y 4 16 ) d y = π 4 y 2 - y 3 +   y 5 80 0 4

= π 4 ( 4 ) 2 - ( 4 ) 3 +   ( 4 ) 5 80 = 64 5 π

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = 64 5 π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

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