Enunciado

Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

π ∫ 0 π / 2 [ 1 + cos ⁡ x 2 - 1 ² ] . d x

Passo 1

Muito bem galera, antes de começar vamos lembrar como se calcula o volume de um sólido de rotação:

V = ∫ a b A x . d x

Então qual a área da figura que irá rotacionar?

Para saber vamos reorganizar o volume que o problema nos deu:

V = ∫ 0 π / 2 π [ 1 + cos ⁡ x 2 - 1 ² ] . d x

Então a área é dada por:

A x = π [ 1 + cos ⁡ x 2 - 1 ² ]

Vamos com calma! Essa área nos dá mais uma informação. Quando calculamos a área transversal do sólido nós subtraímos a função do seu eixo de rotação, ao quadrado. Mas, quando o sólido é formado pela união de duas funções este resultado deve ser ainda subtraído da outra função menos o eixo de rotação, também ao quadrado:

A x = π f x - e i x o 2 - g x - e i x o 2

Meio confuso, mas tranquilinho !

Podemos concluir então que:

E i x o :     y = 0

E

f x = 1 + cos ⁡ x

g x = 1

Concluímos então que o sólido é originado pela rotação sobre o eixo y da área formada entre a função g x = 1 e 1 + cos ⁡ x .

Então, a região R delimitada aqui é:

R = x ,   y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   1 ≤ y ≤ 1 + cos ⁡ x }  

Ou ainda, se subtraímos uma unidade das extremidades de y:

R ' = x ,   y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ cos ⁡ x }  

Resposta

R = x ,   y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   1 ≤ y ≤ 1 + cos ⁡ x }  

R ' = x ,   y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ cos ⁡ x }

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