Ache a soma:

∑ i = 1 41 ( 3 i - 1 3 - 3 i + 2 3 )

Passo 1

Quando temos questões de somatório envolvendo subtrações, é sempre útil checar se há alguma relação entre as parcelas para descobrir se os fatores de cada soma irão se cancelar. Podemos ver que se f i = 3 i - 1 3 , o próximo termo será f i + 1 = 3 i + 1 - 1 3 = 3 i + 3 - 1 3 = 3 i + 2 3 . Isso tornará o problema mais fácil de ser resolvido.

Passo 2

Podemos então escrever a soma da seguinte forma:

∑ i = 1 41 3 i - 1 3 - 3 i + 2 3 = ∑ i = 1 41 3 i - 1 3 - ∑ i = 1 41 3 i + 2 3

= ∑ i = 1 41 f ( i ) - ∑ i = 1 41 f i + 1 = f 1 + f 2 + … + f 41 - [ f 2 + f 3 + … + f 42 ]

= f 1 + f 2 + f 3 + … + f 41 - f 2 - f 3 - … - f 41 - f ( 42 )

Todos os termos de f ( 2 ) a f ( 41 ) irão se cancelar. Sobrará então:

f 1 - f 42 = 3 ⋅ 1 - 1 3 - 3 ⋅ 42 - 1 3 = 3 3 - 125 3 = 3 3 - 5

Resposta

∑ i = 1 41 3 i - 1 3 - 3 i + 2 3 = 3 3 - 5

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