Enunciado

3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

5. F x ,   y = y 2 e x y i + 1 + x y e x y j

Passo 1

Então pessoal, assim como o enunciado nos pede, de início temos que determinar se F é um campo conservativo ou não. Mas como fazemos isso? De acordo com a seção 16.3 do Stewart, um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:

F → = F x i → + F y j →

Para ser conservativo:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Passo 2

Nossa função é:

F x ,   y = y 2 e x y i + 1 + x y e x y j

Encontrando as derivadas parciais:

∂ F x ∂ y = ∂ y 2 e x y ∂ y = 2 y e x y + y 2 . e x y . x

∂ F y ∂ x = ∂ 1 + x y e x y ∂ x = e x y . y + y . e x y + x y . e x y . y

∴ ∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que F é conservativo! Agora que determinamos isso, precisamos determinar uma função potencial para F , mas como fazemos isso? Vamos pegar qualquer uma das componentes de F e integrar em relação à sua variável, se liga:

∫ F x d x = ∫ y 2 e x y d x

O resultado disso será:

f = y 2 . 1 y e x y + g y = y e x y + g y

Espera aí, da onde saiu essa função g ( y ) ? Quando realizamos uma integração indefinida surge uma constante, não é? Como nossa função f é uma função apenas de x , quando derivarmos-a aquela g ( y ) desaparece, então ela funciona como uma constante! Agora o que temos que fazer é determinar quem é essa função, então bora lá!

Passo 3

O que precisamos fazer agora é derivar a função potencial que encontramos em relação à y , se liga:

∂ f ∂ y = e x y + y . e x y . x + g ' ( y )

De acordo com o passo 1, temos que a componente y do campo dado é:

F y = e x y + x y e x y

Igualando as equações, teremos que:

e x y + y . e x y . x + g ' y = e x y + x y e x y

Disso podemos tirar que g ' y = 0 .

Sendo assim, temos que:

g y = C

Substituindo em f :

f   ( x , y ) = y e x y + C

E está aí a função que queríamos!

Resposta

f   ( x , y ) = y e x y + C

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