Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 5
3-10. Determine se é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função tal que .
5.
Passo 1
Então pessoal, assim como o enunciado nos pede, de início temos que determinar se é um campo conservativo ou não. Mas como fazemos isso? De acordo com a seção 16.3 do Stewart, um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:
Para ser conservativo:
Passo 2
Nossa função é:
Encontrando as derivadas parciais:
Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que é conservativo! Agora que determinamos isso, precisamos determinar uma função potencial para , mas como fazemos isso? Vamos pegar qualquer uma das componentes de e integrar em relação à sua variável, se liga:
O resultado disso será:
Espera aí, da onde saiu essa função ? Quando realizamos uma integração indefinida surge uma constante, não é? Como nossa função é uma função apenas de , quando derivarmos-a aquela desaparece, então ela funciona como uma constante! Agora o que temos que fazer é determinar quem é essa função, então bora lá!
Passo 3
O que precisamos fazer agora é derivar a função potencial que encontramos em relação à , se liga:
De acordo com o passo 1, temos que a componente do campo dado é:
Igualando as equações, teremos que:
Disso podemos tirar que .
Sendo assim, temos que:
Substituindo em :
E está aí a função que queríamos!