Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f .

F x , y , z = y z i + x z j + x y k

Passo 1

Se queremos checar se um campo é conservativo ou não, nosso primeiro passo é checar o domínio da nossa função. Se F for definida em todo o R 3 , ela pode ser conservativa.

Depois, temos que ver observar as derivadas de segunda ordem se forem contínuas. Para isto, podemos checar quais são as nossas funções, pelo formato dela temos como saber se as derivadas são contínuas sem antes mesmo calcularmos as funções (funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, por exemplo).

Por fim, precisamos calcular o rotacional da nossa função e verificar se é igual a 0. Caso isso ocorra, o campo vetorial é conservativo.

Caso o campo seja conservativo, para obtermos as funções f tais que F = ∇ f , temos que comparar cada uma das coordenadas dos dois vetores, e assim sair integrando a nossa função.

Bom, vamos então aos nossos cálculos.

Passo 2

A nossa função é definida em todo o R 3 e possui derivadas de segunda ordem contínuas. Então, precisamos calcular o rotacional da nossa função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Portanto, vamos calcular cada um dos termos desse rotacional. Logo,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = x - x i

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = y - y j

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k = z - z k

Logo, o rotacional é:

r o t   F = 0

E sendo assim, o nosso campo é conservativo!

Passo 3

Para obtermos esta função f , temos que comparar cada um dos termos de F com as derivadas parciais de f . Isto é:

f x x , y , z = y z f y x , y , z = x z f z x , y , z = x y

Agora, vamos pegar a nossa primeira equação e integrar em relação a x . Com isto, obtemos que:

f x , y , z = x y z + g y , z

Precisamos descobrir quem é essa g y , z agora. Para isto, vamos ter de usar as outras duas equações do nosso sistema inicial. E para podermos utilizar essas equações, vamos ter de obter as derivadas parciais da função f . Fazendo primeiramente para f y , temos:

f y x , y , z = x z + g y y , z = x z

g y y , z = 0

Como g y y , z = 0 , temos então que g y , z = h z , isto é, é apenas uma função de z . Agora, precisamos descobrir quem é esse h . Derivando em relação a z , temos:

f z x , y , z = x y + h ' z = x y

h ' z = 0

Portanto, h z = C , onde C é uma constante qualquer pertencente aos reais. Portanto, a nossa função f é:

f x , y , z = x y z + C

Resposta

O campo vetorial é conservativo.

f x , y , z = x y z + C

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