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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f .

F x , y , z = 3 z 2 i + cos ⁡ y j + 2 x z k

Passo 1

Se queremos checar se um campo é conservativo ou não, nosso primeiro passo é checar o domínio da nossa função. Se F for definida em todo o R 3 , ela pode ser conservativa.

Depois, temos que ver observar as derivadas de segunda ordem se forem contínuas. Para isto, podemos checar quais são as nossas funções, pelo formato dela temos como saber se as derivadas são contínuas sem antes mesmo calcularmos as funções (funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, por exemplo).

Por fim, precisamos calcular o rotacional da nossa função e verificar se é igual a 0. Caso isso ocorra, o campo vetorial é conservativo.

Caso o campo seja conservativo, para obtermos as funções f tais que F = ∇ f , temos que comparar cada uma das coordenadas dos dois vetores, e assim sair integrando a nossa função.

Bom, vamos então aos nossos cálculos.

Passo 2

A nossa função é definida em todo o R 3 e possui derivadas de segunda ordem contínuas. Então, precisamos calcular o rotacional da nossa função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Portanto, vamos calcular cada um dos termos desse rotacional. Logo,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = 0 - 0 i

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = 6 z - 2 z j

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k = 0 - 0 k

Logo, o rotacional é:

r o t   F = 4 z j

E sendo assim, o nosso campo é não é conservativo!

Passo 3

Como o nosso campo não é conservativo, não existe f que satisfaça a relação F = ∇ f .

Resposta

O campo vetorial não é conservativo e não existe uma função f que satisfaça F = ∇ f .

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