Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

31. a) ∫ - 1 1 2 x - 1 d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ - 1 1 2 x - 1 d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = 2 x - 1 = 2 x - 1 ,     1 2 ≤ x ≤ 1 1 - 2 x ,     - 1 ≤ x ≤ 1 2

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ - 1 1 2 x - 1 d x = ∫ - 1 1 2 1 - 2 x d x + ∫ 1 2 1 2 x - 1 d x

Show!

Passo 3

Para resolvermos essas integrais devemos utilizar a seguinte regrinha, galera:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Sendo assim, para a primeira integral teremos:

∫ - 1 1 2 1 - 2 x d x = x - x 2 1 2 - 1

E para a segunda integral teremos:

∫ 1 2 1 2 x - 1 d x = x 2 - x 1 1 2

Logo:

∫ - 1 1 2 x - 1 d x = x - x 2 1 2 - 1 + x 2 - x 1 1 2

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

x - x 2 1 2 - 1 + x 2 - x 1 1 2 = 5 2

∴ ∫ - 1 1 2 x - 1 d x = 5 2

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ - 1 1 2 x - 1 d x = 5 2

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