Enunciado

Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função

g x = ∫ 0 x f t   d t

Justifique sua resposta.

  1. g é uma função derivável de x .
  2. g é uma função contínua de x .
  3. O gráfico de g tem uma tangente horizontal em x = 1 .
  4. g tem um máximo local em x = 1 .
  5. g tem um mínimo local em x = 1 .
  6. O gráfico de g tem um ponto de inflexão em x = 1 .
  7. O gráfico de d g / d x cruza o eixo x em x = 1 .

Passo 1

Esta é uma questão bastante completa. Diversos assuntos estudados são abordados agora. Temos conceitos de continuidade, diferenciabilidade, aplicações de derivadas e por fim, integrais através do teorema fundamental do cálculo (TFC) parte 1. Como, de uma forma geral, todos os itens necessitam deste teorema, é importante revisarem o conceito dele para resolverem esta questão.

Passo 2

A afirmação é falsa. Como a derivada da função g é dada por:

g ' x = d d x ∫ 0 x f t   d t

g ' x = f x ⋅ d d x ( x )

g ' x = f ( x )

E consequentemente, g ' ' x = f ' ( x ) . Como a função g possui um ponto crítico em x = 1 , pois g ' 1 = 0 e g ' ' x = f ' x > 0 , pelo teste da segunda derivada, sabemos que a função possui um ponto de mínimo local em x = 1 , e não de máximo local!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Existe a possibilidade de x ln ⁡ 2 ser igual a 2 ln ⁡ x para x0 ? Trace as duas funções e descreva o que você observa.
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari