Enunciado

13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

29. ∫ 1 4 1 t - 3 t d t

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral em questão vamos nos lembrar da Parte 1 do TFC, tudo bem? Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show! Tendo isso em vista, bora pra cima!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 1 4 1 t - 3 t d t

Podemos separar essa integral e simplificar as raízes da seguinte forma:

∫ 1 4 1 t - 3 t d t = ∫ 1 4 t - 1 2 d t - 3 ∫ 1 4 t 1 2 d t

Para resolver essas integrais devemos utilizar a seguinte regrinha, se liga:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então para a primeira integral, teremos:

∫ 1 4 t - 1 2 d t = 2 t 1 2 4 1

E para a segunda integral, teremos:

3 ∫ 1 4 t 1 2 d t = 2 t 3 2 4 1

Passo 3

Agora que encontramos os resultados separados de cada integral, vamos junta-los novamente:

∫ 1 4 t - 1 2 d t - 3 ∫ 1 4 t 1 2 d t = 2 t 1 2 4 1 - 2 t 3 2 4 1

Aplicando o TFC, teremos:

2 t 1 2 4 1 - 2 t 3 2 4 1 = 2 . 4 - 2 . 1 - 2 . 4 3 2 - 2 . 1 3 2 = 4 - 2 - 16 + 2

∴ ∫ 1 4 1 t - 3 t d t = - 12

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 1 4 1 t - 3 t d t = - 12

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