Enunciado

31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

34. a) ∫ - 3 3 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ - 3 3 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x

Como os intervalos de integração são simétricos, então podemos reescrever a nossa integral assim:

2 ∫ 0 3 f x d x = - 2 ∫ 0 2 f x d x + 2 ∫ 2 3 f x d x

Show!

Passo 3

Para a primeira integral temos o seguinte, galera:

- 2 ∫ 0 2 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x = - 2 x 3 3 - x - 15 a r c tan ⁡ x 2 0

E para a segunda integral teremos:

2 ∫ 2 3 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x = 2 x 3 3 - x - 15 a r c tan ⁡ x 3 2

Logo:

∫ - 3 3 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x = - 2 x 3 3 - x - 15 a r c tan ⁡ x 2 0 + 2 x 3 3 - x - 15 a r c tan ⁡ x 3 2

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

- 2 x 3 3 - x - 15 a r c tan ⁡ x 2 0 + 2 x 3 3 - x - 15 a r c tan ⁡ x 3 2 = 28 3 - 30 a r c t g   3 + 60 a r c t g   2

∴ ∫ - 3 3 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x = 28 3 - 30 a r c t g   3 + 60 a r c t g   2

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ - 3 3 x 2 - 1 - 15 x 2 + 1 d x = 28 3 - 30 a r c t g   3 + 60 a r c t g   2

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