Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

15. ∫ 0 π 4 t g ² x d x

Passo 1

Então galera, essa aqui é uma integral bastante interessante. De início, não sabemos como resolver essa integral aí, certo? Mas utilizando trigonometria, sabemos que:

t g 2 x = s e c 2 x - 1

Substituindo esse valor na nossa integral e separando as integrais pela propriedade de soma e subtração, teremos:

∫ 0 π 4 t g ² x d x = ∫ 0 π 4 s e c ² x d x - ∫ 0 π 4 d x

Passo 2

Para resolvermos essa primeira integral, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F ' x = d d x ∫ 0 x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 3

Que função que derivamos e dá s e c ² x ? Essa função é t g   x , assim como foi visto em derivadas, certo? Portanto, teremos:

∫ 0 π 4 s e c ² x d x - ∫ 0 π 4 d x = t g   x π 4 0 - x π 4 0  

∫ 0 π 4 s e c ² x d x - ∫ 0 π 4 d x = 1 - 0 - π 4 - 0

∴ ∫ 0 π 4 t g ² x d x = 1 - π 4

Resposta

∫ 0 π 4 t g ² x d x = 1 - π 4

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