Enunciado

31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como:

f x - L = " a l g u m a   c o i s a " . x - a

E, então, controle o tamanho de " a l g u m a   c o i s a " por meio de restrições no tamanho de δ .

32. lim x → 3 ⁡ x 2 + x = 12 [Sugestão: Suponha que δ ≤ 1 .]

Passo 1

Então galera, utilizando a sugestão do enunciado, que é considerar que δ ≤ 1 e utilizando a definição de limite, que é:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Teremos os seguintes dados:

f x = x 2 + x

L = 12

a = 3

Agora mãos a obra!

Passo 2

Para a primeira condição temos que:

f x - L < ϵ

x 2 + x - 12 < ϵ

Fatorando esse módulo, teremos:

x + 4 . x - 3 < ϵ

Como x - a = x - 3 , então o nosso desejo aqui é limitar o fator x + 4 , galera. Ademais, como δ ≤ 1 , então:

- 1 < x - 3 < 1

2 < x < 4

6 < x + 4 < 8

Logo, por consequência, x + 4 < 8 . Tendo em vista essa restrição que encontramos, podemos concluir dizendo que:

0 < x - 3 < δ

x - 3 . x + 4 < 8 δ

δ = m i n 1 , ϵ 8

Dessa forma, fica provado que, de fato, dado qualquer número positivo, conseguimos encontrar um número positivo δ que satisfaz as condições dadas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite lim x → 0 - ⁡ 2 3 x 1 3
Determine o limite lim x → 2 - ⁡ 3 x - 2
Determine o limite lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3
Determine o limite lim x → 0 + ⁡ 2 3 x 1 3
Determine o limite lim x → 0 ⁡ 4 x 2 5