Calcule.

∫ sen ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos primeiro usar uma identidade:

sen ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Assim:

∫ sen ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x d x = ∫ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = cos ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen ⁡ x d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x = ∫ - 2 u 1 + u d u

Passo 2

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

v = 1 + u → u = v - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = d u

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 2 u 1 + u d u = ∫ - 2 v - 1 v d v = ∫ - 2 v + 2 v d v = ∫ - 2 d v + ∫ 2 v d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Vamos usar essas expressões para achar as primitivas da função:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

∫ k   d x = k x + C

Aplicando:

∫ - 2 d v + ∫ 2 v d v = - 2 v + 2 ∫ 1 v d v = - 2 v + 2 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ - 2 d v + ∫ 2 v d v = - 2 v + 2 ∫ 1 v d v = - 2 v + 2 ln ⁡ v + C = - 2 1 + u + 2 ln ⁡ 1 + u + C = - 2 1 + cos ⁡ x + 2 ln ⁡ 1 + cos ⁡ x + C

Resposta

∫ sen ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x d x = - 2 1 + cos ⁡ x + 2 ln ⁡ 1 + cos ⁡ x + C

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