Enunciado

31.O topo de um tanque tem 3   m de comprimento e 2   m de largura. As extremidades são triângulos equiláteros verticais, com um vértice apontado para baixo. Qual a força total em uma extremidade, quando ele está cheio de um líquido que pesa 12.000   N e w t o n s   p o r   .

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a comporta a esquerda e f y é a função que limita a comporta à direita.

c limita a comporta por baixo!

d limita a comporta por cima!

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

O lado do triângulo equilátero é 2   m , então a sua altura é de 2 3 2 = 3

Passo 2

Vamos desenhar o “gráfico” da extremidade, com as informações do lado e da altura que calculamos anteriormente.

.

A extremidade está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos ( 0,0 ) e, pois admitimos esse triangulo com origem na origem do plano cartesiano.

Em cima é delimitada pelos pontos ( - 1 ; 3 ) e ( 1 ; 3 ) , pois o topo precisa medir 2   m e o triângulo tem altura de 3   m .

Então,

c = 0

d = 3

A comporta é delimitada à esquerda pela reta que passa pelos pontos ( 0,0 ) e ( - 1 ; 3 ) . A reta que passa por esses pontos é a y = - 3 x e isolando o x , temos : - 1 3 y = x

À direita a comporta é delimitada pela reta, também, mas essa passa pelos pontos ( 0,0 ) e ( 1 ; 3 )   .   A reta que passa por esses pontos é a y = 3 x só que precisamos de f ( y ) , então isolando o x , temos: 1 3 y = x .

Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!

g y = - 1 3 y

f y = 1 3 y

Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água, em azul. Ora, o nível de água é o mesmo da altura da tanque segundo o enunciado.

k = 3

Passo 3

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é w = 12.000   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 3 12.000 ( 3 - y ) 1 3 y - ( - 1 3 y ) d y = 12.000 ∫ 0 3 ( 3 - y ) 2 y 3 d y

Focando só na integral, temos:

F = 24.000 3 ∫ 0 3 3 y - y 2 d y =

= 24.000 3 3 y 2 2 - y 3 3 3 0 = 24.000 3   3 3 2 - 3 3 3 = 24.000 3 × 3 3 6 =

= 12.000   N

Resposta

F = 12.000   N

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