Enunciado

Nos exercícios 27 a 30 , temos uma comporta de uma represa, colocada verticalmente, com a forma indicada.

Calcular a força total contra a comporta

28.Um trapézio isósceles com 30   m de largura e 20   m de largura na base e 8   m de altura; nível d’ água: coincide com o topo da comporta.

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a comporta a esquerda e f y é a função que limita a comporta à direita.

c limita a comporta por baixo!

d limita a comporta por cima!

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

Passo 2

Passo 3

Vamos desenhar o “gráfico” da comporta, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral.

A comporta está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos ( - 10 , 0 ) e ( 10 , 0 ) , pois a base inferior mede 20   m .

Em cima é delimitada pelos pontos ( - 1 5 , 8 ) e ( 1 5 , 8 ) , pois o topo precisa medir 30   m e o trapézio tem 8   m de altura.

Então,

c = 0

d = 8

A comporta é delimitada à esquerda pela reta que passa pelos pontos ( - 1 0 , 0 ) e ( - 1 5 , 8 ) . A reta que passa por esses pontos é a y = - 8 5 x - 16 e isolando o x , temos : - 10 - 5 8 y = x

À direita a comporta é delimitada pela reta, também, mas essa passa pelos pontos ( 10 , 0 ) e ( 15 , 8 ) . A reta que passa por esses pontos é a y = 8 5 x - 16 só que precisamos de f ( y ) , então isolando o x , temos: 5 y 8 + 1 0 = x .

Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!

g y = - 10 - 5 8 y

f y = 5 y 8 + 10

Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água. Ora, o nível coincide com o topo da comporta, então o nível é de 8   m .

k = 8

Passo 4

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é w = 9.807   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 8 9807 ( 8 - y ) 5 y 8 + 10 - ( - 10 - 5 8 y ) d y = 9807 ∫ 0 8 ( 8 - y ) 20 + 5 y 4 d y

Focando só na integral, temos:

F = 9807 ∫ 0 8 160 - 20 y + 10 y - 5 y 2 4 d y = 9807 ∫ 0 8 160 - 10 y - 5 y 2 4 d y = 9807 + 160 y - 5 y 2 - 5 12 y 3 8 0 = 9807   1280 - 320 - 1280 6 = 9807 × 4 48 0 6

= 7.322.560   N

Passo 5

Resposta

F = 7.322.560   N

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