Enunciado

32. Suponha que na produção de x unidades de certo produto seja necessária uma força de trabalho de y operários e x = 4 y 2 . Se a produção este ano foi de 250.000 unidades e a produção está aumentando a uma taxa de 18.000 unidades ao ano, qual será a taxa corrente segundo a qual a força de trabalho deve ser aumentada.

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Identificando as variáveis:

X- produção por unidades ao ano

y- numero de operários (ou força de trabalho)

A questão nos deu d x d t = 18.000   , a taxa de variação da produção ao ano.

E nos é pedido d y d t ( taxa de variação da força de trabalho) quando x for 250.000 unidades.

Passo 2

Dessa vez, não é preciso esquentarmos a cabeça procurando uma fórmula que relacione as variáveis, porque a questão nos deu de mãos beijadas.

Ai está a equação:

x = 4 y 2

Derivando em ambos os lados em relação a t:

d x d t = 4 ⋅ 2 y d y d t

Para encontrarmos esse y, teremos que voltar para a equação dada pela questão.

Para x=250.000 .

25 0.000     = 4 y 2

y 2 = 62500

y = 250  

Continuando com a nossas continhas,

18.000 = 8 ⋅ 250 d y d t

d y d t   = 9

essa é a taxa de variação da força de trabalho ao ano.

Resposta

d y d t   = 9

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