Enunciado

Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de 2,5   c m / s .

  1. Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiveram 12   c m de comprimento?
  2. Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10   c m de comprimento?

Passo 1

Vamos para mais uma questão de taxa de variação! Na letra (a) queremos a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12   c m de comprimento.. Pra início de conversa, vamos achar essa área olhando pro triângulo equilátero abaixo:

Como todo bom triângulo, a área será:

A = b ∙ h 2 = l ∙ h 2

Por ser um triângulo equilátero, temos:

α = β = γ = 60 o  

E por trigonometria, tiramos que:

sen ⁡ γ = h l

sen ⁡ 60 o = 3 2

Igualando esses senos:

h l = 3 2 → h = l ∙ 3 2

A área de um triângulo equilátera pode ser expressa por:

A = l 2 ∙ 3 4

Passo 2

Show, agora se pensamos que tanto l quanto A variam com o tempo, conforme o enunciado, vamos poder ver a fórmula que encontramos como:

A t = l t 2 ∙ 3 4

Assim, a derivada em relação ao tempo tem que ser feita usando a regra da cadeia!

A = l 2 ∙ 3 4

d A d t = d l 2 ∙ 3 4 d t = 3 4 ∙ d l 2 d t

A ' = 3 4 ∙ 2 ∙ l ∙ d l d t

A ' t = 3 2 ∙ l t ∙ l ' t

O enunciado diz que, em determinado instante, os lados do triângulo crescem à taxa de 2,5   c m / s e que nesse instante eles medem 12   c m . Unindo essas informações, temos:

A ' = 3 2 ∙ 12 ∙ 2,5

A ' = 15 3   c m 2 / s

Passo 3

Na letra (b) queremos a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10   c m de comprimento. Seja o perímetro de um triângulo equilátero P = 3 l . Temos:

d P d t = d 3 l d t

P ' = 3 ⋅ d l d t

P ' = 3 ⋅ l '

Como é fixa a taxa de crescimento dos lados, de 2,5   c m / s , basta substituir:

P ' = 3 ⋅ 2,5

d P d t = 7,5   c m / s

Resposta

  1. A ' = 15 3   c m 2 / s ;
  2. P ' = 7,5   c m / s .
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