Enunciado

Seja f t = t 3 + 3 t 2 .

a) Estude o sinal de f ' t .

b) Estude o sinal de f ' ' t .

c) Calcule lim t → + ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 e lim t → - ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 .

d) Utilizando as informações acima, esboce o gráfico de f .

Passo 1

a) Derivando f temos:

f ' t = 3 t 2 + 6 t

Temos que a expressão 3 t 2 + 6 t descreve uma parábola cuja concavidade está voltada para cima, assim, sua parte negativa está entre as raízes e a parte positiva está na região externa às raízes.

Como as raízes são:

3 t 2 + 6 t = 0

3 t t + 2 = 0

t = 0

Ou

t = - 2

Então, f ' t > 0 para t ∈ - ∞ , - 2 ∪ 0 , + ∞ , f ' t < 0 para t ∈ - 2,0 e f ' t = 0 para t = 0 ou t = - 2 .

Passo 2

b) Derivando f ' t temos:

f ' ' t = 6 t + 6

Como f ' ' t é uma reta crescente, a parte positiva está depois da sua raiz e a negativa está antes.

Como sua raiz é:

6 t + 6 = 0

t = - 1

Então, f ' ' t > 0 para t ∈ - 1 , + ∞ , f ' ' t < 0 para t ∈ - ∞ , - 1 e f ' ' t = 0 para t = - 1 .

Passo 3

c) Para calcular lim t → + ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 e lim t → - ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 , devemos por t 3 em evidência:

t 3 + 3 t 2 = t 3 1 + 3 t

Assim:

lim t → + ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 = lim t → + ∞ ⁡ t 3 1 + 3 t = + ∞

E

lim t → - ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 = lim t → - ∞ ⁡ t 3 1 + 3 t = - ∞

Logo, lim t → + ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 = + ∞ e lim t → - ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 = - ∞ .

Passo 4

Com as informações coletadas, temos então o seguinte gráfico:

Resposta

a) f ' t > 0 para t ∈ - ∞ , - 2 ∪ 0 , + ∞ , f ' t < 0 para t ∈ - 2,0 e f ' t = 0 para t = 0 ou t = - 2 .

b)   f ' ' t > 0 para t ∈ - 1 , + ∞ , f ' ' t < 0 para t ∈ - ∞ , - 1 e f ' ' t = 0 para t = - 1 .

c) lim t → + ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 = + ∞ e lim t → - ∞ ⁡ t 3 + 3 t 2 = - ∞ .

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