Enunciado

41-42 Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. Ilustre fazendo o gráfico da curva e a reta tangente sobre a mesma tela;

42. y = x x ( 4,8 )

Passo 1

Faala galerinha,

Nessa questão queremos encontrar a equação da reta tangente à curva para um ponto dado. A nossa curva é dada por:

y = x x

E para escrevermos a equação da reta tangente vamos usar a seguinte equação:

y - y o = m ( x - x o )

Onde x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto onde queremos traçar a reta tangente.

E m é a inclinação da função no ponto dado. Ou seja, a derivada da função.

E para fechar, vamos plotar o gráfico da função e da reta tangente para ver se deu tudo certo.

Passo 2

Vamos começar dando uma ajeitada na nossa função, para que calcular a derivada dela seja mais fácil.

y = x x

y = x x 1 2

y = x 1 + 1 2

y = x 3 2

Passo 3

Agora vamos encontrar a nossa derivada f ' ( x ) .

f ´ ( x ) = d d x x 5 2

d d x x 3 2 = 3 2 x 3 2 - 1 = 3 2 x 1 2

f ´ ( x ) = 3 2 x

Lembra a interpretação da derivada?

É o coeficiente angular da reta tangente, o mesmo que a inclinação m da reta tangente.

Então o coeficiente angular da reta tangente, no ponto ( 4,8 ) , é:

m = f ´ ( 4 ) = 3 2 4 = 3 2 2 = 3

Passo 4

E a equação da reta tangente a um gráfico é dada por:

y - y o = m ( x - x o )

O ponto de tangência é o ( 4,8 ) .

Então:

y - 8 = 3 ( x - 4 )

y - 8 = 3 x - 12

y = 3 x - 4

Para finalizar, faremos os dois gráficos juntos, dessa forma!!

Resposta

y = 3 x - 4

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Prove que a reta tangente à curva y = - x 4 + 2 x 2 + x no ponto ( 1 ,2 ) é também tangente à curva em um outro ponto e determine esse ponto
Ache as equações das retas tangente e normal à curva y = 8 s e n 3 2 x no ponto π 12 ,1 .
Ache uma equação da reta normal à curva x - y = sqrt(x + y) no ponto ( 3 , 1 )
Ache as equações das retas tangentes à curva y = 2 x 3 + 4 x 2 - x que têm inclinação 1 2 .
Ache as equações das retas tangente e normal à curva 2 x 3 + 2 y 3 - 9 x y = 0 no ponto 2 ,1 .