Enunciado

34. Prove o teorema 2.3.3

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para provarmos o teorema que envolve o conceito de limites laterais.

Passo 2

Partindo do conceito de limite de uma função, podemos escrever:

S e underset(x -> a)(lim) f (x) = L

Então, para todo epsilon >= 0 existe um delta > 0 tal que |f (x) - L| < epsilon quando 0 < |x - a| < delta

Passo 3

Então para um delta_1 > 0 qualquer e epsilon >= 0 teremos que |f (x) - L| < epsilon quando 0 < x - a < delta_1 e para um delta_2 > 0 qualquer temos |f (x) - L| < epsilon quando 0 < - ( x - a ) < delta_2

Logo, temos que:

underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L = underset(x -> a^-)(lim) f (x)

Note que:

0 < x - a < delta_1

Ficou desse jeito devido a aplicação do conceito de função modular e essa parte representa o limite lateral com x tendendo à a pela direita, ou seja, para valores maiores que a. Portanto, isso daria um número positivo.

0 < - ( x - a ) < delta_1

Ficou desse jeito devido a aplicação do conceito de função modular e essa parte representa o limite lateral com x tendendo à a pela esquerda, ou seja, para valores menores que a. Portanto, isso daria um número negativo e assim devemos colocar um sinal antes para torna-lo positivo.

Resposta

Demonstração.

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Encontre o limiteunderset(x - - oo)(lim) x^4 + x^5
Encontre o limite ou demonstre que não existe. lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1
Encontre o limiteunderset(x - oo)(lim) cos x
lim x → π 2 + ⁡ e t g ( x )
lim x → ∞ ⁡ t g - 1 x 2 - x 4