34. Prove o teorema 2.3.3

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para provarmos o teorema que envolve o conceito de limites laterais.

Passo 2

Partindo do conceito de limite de uma função, podemos escrever:

S e   lim x → a ⁡ f x = L

Então, para todo ε ≥ 0 existe um δ > 0   tal que f x - L <   ε quando 0 < x - a < δ

Passo 3

Então para um δ 1 > 0 qualquer e ε ≥ 0 teremos que f x - L < ε quando   0 < x - a < δ 1   e para um δ 2 > 0 qualquer temos f x - L < ε quando 0 < - ( x - a ) < δ 2

Logo, temos que:

lim x → a + ⁡ f x = L = lim x → a - ⁡ f x

Note que:

0 < x - a < δ 1

Ficou desse jeito devido a aplicação do conceito de função modular e essa parte representa o limite lateral com x tendendo à a pela direita, ou seja, para valores maiores que a. Portanto, isso daria um número positivo.

0 < - ( x - a ) < δ 1

Ficou desse jeito devido a aplicação do conceito de função modular e essa parte representa o limite lateral com x tendendo à a pela esquerda, ou seja, para valores menores que a. Portanto, isso daria um número negativo e assim devemos colocar um sinal antes para torna-lo positivo.

Resposta

Demonstração.

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