Enunciado

36. Uma escada com 7m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada for puxada horizontalmente de tal forma que se afaste da parede e que o topo escorregue a uma velocidade de 1m/s , qual a velocidade com que a medida do ângulo entre a escada e o chão estará variando quando o pé da escada estiver a 4m da parede?

Passo 1

Este problema, é um problema clássico de taxas relacionadas. Para resolver problemas deste tipo, basta esboçar o que foi dito no enunciado, encontrar a função que relaciona as variáveis disponíveis no esboço e derivar a função de interesse. Neste caso, devemos encontrar a taxa de variação do ângulo entre a escada e o chão em função do tempo.

Passo 2

Assim, um esboço do que foi dito no enunciado é dado pela seguinte figura:

Seja y a altura da escada, x   distância do pé da escada até a parede e θ o ângulo entre a escada e o chão, podemos escrever a seguinte expressão:

t g θ = y x

θ = a r c t g y x

Passo 3

Derivando a expressão acima com relação ao tempo:

d θ d t = 1 1 + y x 2 . 1 x . d y d t

Passo 4

Quando x = 4 m , y 2 = 49 - x 2 . Então, temos que y = 33   m . Substituindo, x = 4 m , y = 33   m e d y d t = - 1 m s na equação acima:

d θ d t = 1 1 + 33   4 2 . 1 4 . ( - 1 )

d θ d t = - 0,082   r a d / s

Resposta

d θ d t = - 0,082   r a d / s

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