Enunciado

39. Um automóvel viajando a uma velocidade de 9 m/s aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel está a 36m do cruzamento um caminhão viajando a uma velocidade de 12 m/s, o atravessa. O automóvel e o caminhão estão em estradas perpendiculares entre si. Quanto tempo após o caminhão deixar o cruzamento, os veículos estarão mais próximos um do outro?

Passo 1

Nós precisamos achar um tempo t para que a distância S entre os automóveis seja mínima.

Passo 2

Em t segundos, o caminhão percorre 12 t , o carro percorre 9 t e a distância entre eles é S.

O valor mínimo de S serve para o quadrado de S também. Vamos chamar z = S 2 .

Então:

z t = ( 12 t ) 2 + ( 36 - 9 t ) 2

Ok?

Passo 3

Queremos que essa distância seja mínima, então vamos derivar e igualar a 0 pra achar um t que satisfaça isso.

z ' t = 2 12 t 12 + 2 36 - 9 t - 9 = 288 t - 648 + 162 t = 450 t - 648

z ' t = 0

450 t - 648 = 0

t = 1,44   s

Passo 4

Agora, vamos avaliar...

Como z ' x < 0 para t < 1,44 e z ' x > 0 para t > 1,44 , z tem um mínimo em t = 1,44   s Prontinho

Resposta

t = 1,44   s

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