Enunciado

33. Ache a menor distância da origem à reta 3 x + y = 6 , e encontre o ponto P sobre a reta que esteja mais próximo da origem. Então, mostre que a origem está na reta perpendicular à reta dada em P .

Passo 1

Vamos achar a distância e seu valor mínimo, derivando como foi feito nas outras questões, depois localizamos a reta perpendicular à origem.

Passo 2

Vamos chamar de z o quadrado da distância da origem até o ponto na reta 3 x + y = 6 ; então y = 6 - 3 x .

Então

z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 6 - 3 x ) 2

z = 10 x 2 - 36 x + 36 ; x ∈ ( + ∞ , - ∞ )

Passo 3

Queremos a menor distância, então derivamos z :

z ' x = 20 x - 36 = 20 x - 9 5

Vamos avaliar...

Para x < 9 5 , z ' x < 0 e para x > 9 5 , z ' x > 0 . E z 9 5 = 18 5 , que é um ponto de mínimo!

Passo 4

Quando x = 9 5 , y = 6 - 3 9 5 = 3 5 , então o ponto mais próximo é P 9 5 , 3 5 , com a distância sendo z = 18 5 = 3 5 10 .

A reta y = 6 - 3 x tem coeficiente angular - 3 , a ligação do ponto P à origem tem coeficiente angular 3 5 9 5 = 1 3 .

O macete agora é que se 2 retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares c 1 e c 2 obedecem a relação:

c 1 = - 1 c 2

Como os coeficientes atendem essa relação, mostramos que a reta da origem é perpendicular à reta dada em P .

Resposta

A menor distância é 3 5 10 , ponto P 9 5 , 3 5 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito no triângulo retângulo mostrado na figura a seguir.
A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada por s = - 16 t 2 + 96 t + 112 Com s em pés e t em segundos. Determine a ) A velocidade do objeto quando t = 0 ; b ) sua altura máxima e quando
Determine um número positivo para o qual a soma da sua recíproca e quatro vezes o seu quadrado seja é o menor possível.
Um silo será construído (sem sua base) na forma de um cilindro sob um hemisfério. O custo da construção por unidade de área da superfície é duas vezes maior para o hemisfério em relação à lateral do c
O cocho visto na figura a seguir será construído com as dimensões indicadas. Apenas o ângulo θ pode variar. Que valos de θ maximiza o volume do cocho?