Enunciado

37-40. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

40. Se f x for contínua em toda parte e:

F x = ∫ 0 x f t d t

Então a equação F x = 0 tem pelo menos uma solução.

Passo 1

Então galera, basicamente o resultado que nos foi dado é o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2). Como estamos assumindo que a função seja contínua em todo o intervalo, então isso implica que ela pertence ao campo dos reais e, portanto, toca o eixo x pelo menos uma vez! Tomando uma função como exemplo:

f t = t 2

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 0 x t 2 d t = t 3 3 x 0

F x = x 3 3

E esse é o nosso resultado! Se igualarmos a zero:

x 3 3 = 0

x = 0

Sendo assim, podemos concluir que, de fato, se f x for contínua em toda parte então F x = 0 tem pelo menos uma solução!

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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