37-48. Calcule a integral.

45. ∫ d x 2 x 2 + 4 x + 7

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

2 x 2 + 4 x + 7 = 2 x 2 + 2 x + 7 2

2 x 2 + 2 x + 7 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 - 1 + 7 2

2 x 2 + 4 x + 7 = 2 x + 1 2 + 5

Substituindo na nossa integral:

∫ d x 2 x 2 + 4 x + 7 = ∫ d x 2 x + 1 2 + 5

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + 1

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ d x 2 x + 1 2 + 5 = ∫ d u 2 u 2 + 5

Colocando 2 em evidência no denominador:

∫ d u 2 u 2 + 5 = 1 2 ∫ d u u 2 + 5 2

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

1 2 ∫ d u u 2 + 5 2 = 1 2 . 1 a a r c tan ⁡ u a + C

Como u = x + 1 e a = 5 2 , então:

∫ d x 2 x 2 + 4 x + 7 = 1 10 a r c tan ⁡ 2 5 x + 1 + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

∫ d x 2 x 2 + 4 x + 7 = 1 10 a r c tan ⁡ 2 5 x + 1 + C

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