Enunciado

Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por x = y 1 - y 2 1 4 ,   y = 0 ,   y = 1   e   x = 0 gira em torno do eixo y .

Passo 1

Então galera, para calcularmos o volume do sólido gerado pela curva em questão, teremos que utilizar o método dos discos, dado pela seguinte integral:

V = π ∫ a b f y ² d y

Como nossa função é:

f y = y 1 - y 2 1 4

Então o que temos que encontrar é:

V = π ∫ 0 1 y 1 - y 2 1 4 2 d y

O que nos dá:

V = π ∫ 0 1 y 2 1 - y 2 d y

Show, simplificamos nossa integral!

Passo 2

Para resolvermos essa nova integral que escrevemos vamos utilizar uma substituição trigonométrica, tudo bem? A substituição mais adequada para esse caso é:

y = a . sin ⁡ θ

Como a = 1 , temos que:

y = sin ⁡ θ

d y = cos ⁡ θ d θ

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

V = π ∫ 0 1 sin 2 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Da relação fundamental da trigonometria conseguimos tirar que:

V = π ∫ 0 1 sin 2 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = π ∫ 0 1 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Show, simplificamos mais ainda nossa integral! Vamos continuar o processo.

Passo 3

Uma propriedade da trigonometria nos diz que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Substituindo na nossa integral, teremos:

π ∫ 0 1 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = π 4 ∫ 0 1 sin 2 ⁡ 2 θ d θ

Logo, teremos que:

π 4 ∫ 0 1 sin 2 ⁡ 2 θ d θ = π 8 ∫ 0 1 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Que nos cede como resultado:

π 8 ∫ 0 1 1 - cos ⁡ 4 θ d θ = π 8 θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ 1 0

Convertendo os intervalos de integração:

π 8 θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ π 2 0

Logo, o volume do nosso sólido será:

V = π 2 16   u . v

E essa é a nossa resposta, galera!

Resposta

V = π 2 16   u . v

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