Enunciado

37-48. Calcule a integral.

46. int (2 x + 3)/(4 x^2 + 4 x + 5) d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

4 x^2 + 4 x + 5 = 4 (x^2 + x + (5)/(4))

4 (x^2 + x + (5)/(4)) = 4 (x^2 + x + (1)/(4) + 1)

4 x^2 + 4 x + 5 = 4 (x + (1)/(2))^2 + 4

Substituindo na nossa integral:

int (2 x + 3)/(4 x^2 + 4 x + 5) d x = int (2 x + 3)/(4 (x + (1)/(2))^2 + 4) d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + (1)/(2)

Disso também tiramos que:

x = u - (1)/(2)

Ademais:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (2 x + 3)/(4 (x + (1)/(2))^2 + 4) d x = int (2 (u - (1)/(2)) + 3)/(4 (u)^2 + 4) d u

int (2 (u - (1)/(2)) + 3)/(4 (u)^2 + 4) d u = int (2 u + 2)/(4 (u)^2 + 4) d u = (1)/(2) int (u + 1)/(u^2 + 1) d u

Como temos uma soma no numerador, podemos separar em duas integrais:

(1)/(2) int (u + 1)/(u^2 + 1) d u = (1)/(2) int (u)/(u^2 + 1) d u + (1)/(2) int (d u)/(u^2 + 1)

E aqui apareceram mais duas integrais para resolvermos, então vamos com calma, resolvendo uma de casa vez, ok? Show!

Passo 3

Para a primeira integral, temos o seguinte, galera:

(1)/(2) int (u)/(u^2 + 1) d u

Podemos fazer uma substituição simples, chamando y = u^2 + 1 :

d y = 2 u d u

:. (d y)/(2) = u d u

Substituindo na integral:

(1)/(4) int (d y)/(y) = (1)/(4) ln y + C

Como y = u^2 + 1 , então:

(1)/(2) int (u)/(u^2 + 1) d u = (1)/(4) ln |u^2 + 1| + C

E como u = x + (1)/(2) , então:

(1)/(4) ln |u^2 + 1| + C = (1)/(4) ln |(x + (1)/(2))^2 + 1| + C

E essa é a nossa primeira integral! Agora vamos para a segunda!

Passo 4

A segunda integral que encontramos é essa:

(1)/(2) int (d u)/(u^2 + 1)

Que é uma integral tabelada, pessoal. O resultado dessa integral é:

(1)/(2) int (d u)/(u^2 + 1) = (1)/(2) a r c tan u + C

E como u = x + (1)/(2) , então:

(1)/(2) a r c tan u + C = (1)/(2) a r c tan (x + (1)/(2)) + C

Portanto, unindo as duas integrais, teremos:

(1)/(2) int (u)/(u^2 + 1) d u + (1)/(2) int (d u)/(u^2 + 1) = (1)/(4) ln |u^2 + 1| + (1)/(2) a r c tan u + C

:. int (2 x + 3)/(4 x^2 + 4 x + 5) d x = (1)/(4) ln |(x + (1)/(2))^2 + 1| + (1)/(2) a r c tan (x + (1)/(2)) + C

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

int (2 x + 3)/(4 x^2 + 4 x + 5) d x = (1)/(4) ln |(x + (1)/(2))^2 + 1| + (1)/(2) a r c tan (x + (1)/(2)) + C

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